Question

在数列{an}中，已知a1=2,a(n+1)=3an+n(n>=1),则数列的通项an=?

Answer 1

根据题意有：a2=3a1+1 (1)
a3=3a2+2 (2)
a4=3a3+3 (3)
.........
a(n+1)=3an+1 (n)
将第2式乘以1/3，第3式乘以(1/3)^2，第4式乘以(1/3)^3。。。第n式乘以(1/3)^(n-1)，再各式左右分别相加得：
　　　　(1/3)^(n-1)*a(n+1)=3a1+1+2*(1/3)+3*(1/3)^2+.....+n*(1/3)^(n-1)
运用乘以1/3后再交错相减的方法可求得：
　　　　1+2*(1/3)+3*(1/3)^2+.....+n*(1/3)^(n-1)＝9/4-(9/4+3n/2)*(1/3)^n
则该数列的通项公式为：
　　　　　当n=1时，an=2
当n>1时，an=(33/4)*3^(n-2)-(3/4+(n-1)/2)

Answer 2

a1=2,
设a(n+1)=3an+n(n>=1)
则a(n+1)+x(n+1+a)=3[an+x(n+a)]
a(n+1)=3an+2xn+2ax-x
那么 ， 2x=1,2ax-x=0,a=1/2
所以a(n+1)+1/2(n+1+1/2)=3[an+1/2(n+1/2)]
[a(n+1)+1/2(n+3/2)]/[an+1/2(n+1/2)=3
即{an+1/2(n+1/2)}为等比数列，公比为3
首项为a1+1/2*(1+1/2)=2+3/4=11/4
an+1/2(n+1/2)=11/4*3^(n-1)
an=11/4*3^(n-1)-n/2-1/4

追问

太给力了，你的回答完美解决了我的问题！

追答

OL

Answer 3

3a(n-1)+n-1