Question

在数列an，a1=1,当n>=2时，有an=3a(n-1)+2，求数列an的通项公式

Answer 1

先递推总结规律，然后再证明
An=[A(n-1)
1]/A(n-1)
A1=1=1/1
A2=(1
1)/1=2/1
A3=(2
1)/2=3/2
A4=(3/2
1)/(3/2)=(3
2)/3=5/3
A5=(5/3
1)/(5/3)=8/5
从第3项开始，An=a/b中,分子a是A(n-1)的分子分母之和，b是A(n-2)的分子分母之和。
a和b都是菲波那契数列：1,1,2,3,5,8,13...每一项都是前两项的和，只不过a,b错开了一个。
菲波那契数列Fn的通项公式为：Fn={[（1＋√5）/2]^n
－
[（1－√5）/2]^n
}/√5.
（注：√5表示根号5）
这样
a=F(n
1)={[（1＋√5）/2]^(n
1)
－
[（1－√5）/2]^(n
1)
}/√5.
b=Fn={[（1＋√5）/2]^n
－
[（1－√5）/2]^n
}/√5.
因此An=a/b
=F(n
1)/Fn
={[（1＋√5）/2]^(n
1)
－
[（1－√5）/2]^(n
1)
}/{[（1＋√5）/2]^n
－
[（1－√5）/2]^n
}
An的具体证明如下，用数学归纳法，对于A1，A2验证成立。
假设对所有n<=k均成立。由假设Ak=F(k
1)/Fk
当n=k
1时，
A(k
1)=(Ak
1)/Ak
=[F(k
1)/Fk
1]/[F(k
1)/Fk]
=[(F(k
1)
F(k))/Fk][F(k
1)/Fk]
由菲波那契数列的性质，F(k
1)
F(k)=F(k
2)
因此
A(k
1)
=[F(k
2)/Fk]/[F(k
1)/Fk]
=F(k
2)/F(k
1)
对n=k
1也成立。综上，对所有n属于N*都成立
证毕