Question

数学分析中有关开集闭集的问题！！！开集是否就是闭集！！！

集合S中所有的点都为内点，则S为开集。假设S为开集，那么S中所有的点都为内点，也就是都为聚点。那样的话S中所有的聚点都在S中，S不就是闭集了吗？所以一个集合如果是开集那么它也是闭集，这样对吗？

Answer 1

一般来讲开集和闭集当然不一样, 两者没有如你所说的包含关系.

"假设S为开集，那么S中所有的点都为内点，也就是都为聚点。那样的话S中所有的聚点都在S中"
这样推理是不行的, 聚点未必都在S中
比如说, S=(0,1), 取x_n=1/n, 那么lim x_n=0是S的一个聚点, 显然不在S中

Answer 2

闭集是所有的聚点都在集合里的集合，而开集的边界上的点也是聚点但不是开集上的点，这与闭集的定义矛盾