Question

在数列{an}中，a1=1，a2=4，a(n+1)=5an-6a(n-1)-2，求该数列的通项

Answer 1

n≥2时，
a(n+1)=5an-6a(n-1)-2
a(n+1)-2an -1=3an-6a(n-1)-3=3[an-2a(n-1)-1]
[a(n+1)-2an -1]/[an-2a(n-1) -1]=3，为定值。 *
a2-2a1-1=4-2-1=1
数列{a(n+1)-2an -1}是以1为首项，3为公比的等比数列。
a(n+1)-2an -1=1×3^(n-1)
a(n+1)=2an +3^(n-1) +1
a(n+1) -3^n +1=2an -2×3^(n-1) +2=2[an-3^(n-1)+1]
[a(n+1)-3^n +1]/[an-3^(n-1)+1]=2，为定值。
a1-3^0 +1=1-1+1=1
数列{an -3^(n-1) +1}是以1为首项，2为公比的等比数列。
an-3^(n-1) +1=1×2^(n-1)=2^(n-1)
an=3^(n-1) +2^(n-1) -1
n=1时，a1=1+1-1=1；n=2时，a2=3+2-1=4，均满足通项公式。
数列{an}的通项公式为an=3^(n-1) +2^(n-1) -1

另：带*号的那一步，你也可以用a(n+1)-3an -2=2an -6a(n-1)-4，得到
[a(n+1)-3an -2]/[an-3a(n-1)-2]=2，为定值。
后面你可以自己算一下，结果是一样的。