Question

函数奇偶性的定义与判定

已知函数y=f(x)(x∈R)对任意实数x,y,有f(x)+f(y)=2f(x+y/2)·f(x-y/2)恒成立，且f(0)≠0
（1）求f(0)的值
（2）试判断函数y=f(x)（x∈R)的奇偶性

Answer 1

函数奇偶性的定义：一般地，对于函数f(x)

（1）如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。

（3）如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。

（4）如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。

判定：

1、先分解函数为常见的一般函数，比如多项式x^n，三角函数，判断奇偶性。

2、根据分解的函数之间的运算法则判断，一般只有三种种f(x)g(x)、f(x)+g(x），f(g(x))（除法或减法可以变成相应的乘法和加法）。

3、若f（x）、g(x）其中一个为奇函数，另一个为偶函数，则f(x)g(x)奇、f(x)+g(x）非奇非偶函数，f(g(x))奇。

4、若f（x）、g(x）都是偶函数，则f(x)g(x)偶、f(x)+g(x）偶，f(g(x))偶。

5、若f（x）、g(x）都是奇函数，则f(x)g(x)偶、f(x)+g(x）奇，f(g(x))奇。

常用结论

（1）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性

偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性

（2）若f（x-a）为奇函数，则f（x）的图像关于点（-a，0）对称

若f（x-a）为偶函数，则f（x）的图像关于直线x=-a对称

（3）在f（x），g（x）的公共定义域上：奇函数±奇函数=奇函数

偶函数±偶函数=偶函数

奇函数×奇函数=偶函数

偶函数×偶函数=偶函数

奇函数×偶函数=奇函数

上述奇偶函数乘法规律可总结为：同偶异奇

Answer 2

1．　既然a，b对一切实数都成立　　那么令a＝0，b＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　g（0＋0）＝g（0）＋g（0）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　g（0）＝2g（0）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　g（0）＝0　　　　　　　　　　　令a＝－b　　　　　　g（－b＋b）＝g（－b）＋g（b）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　g（0）＝g（－b）＋g（b）因为g（0）＝0（已证）所以　0＝g（－b）＋g（b）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　g（－b）＝－g（b）所以是奇函数2．既然x属于Ry属于R　　　那么令x＝0y＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　h（0＋0）＋h（0－0）＝2h（0）＊h（0）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　h（0）＝1　　　　　　　　　　　令x＝0　　　　　　h（0＋y）＋h（0－y）＝2h（0）＊h（y）因为h（0）＝1（已证）所以h（y）＋h（－y）＝2h（y）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　h（－y）＝h（y）所以是偶函数

Answer 3

设x=y=x,那么有2f(x)=2f(x)f(0),所以f(0)=1
再设y=-x, 如果函数为偶，则有f(x)+f(y)=2f(x)如果为奇函数则有f(x)+f(y)=0
因为2f(x+y/2)f(x-y/2)=2f(0)f(x),所以函数为偶函数。