Question

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Answer 1

已知f(x)=∣x²-1∣+x²+kx；(1).若k=2，求方程f(x)=0的解；(2).若关于x的方程f(x)=0在(0，2)上有
两个根x₁，x₂，求k的取值范围，并证明1/x₁+1/x₂<4.
解：(1)。当k=2时，f(x)=∣x²-1∣+x²+2x；
当x≦-1时得方程f(x)=(x²-1)+x²+2x=2x²+2x-1=0，此时x=(-2-√12)/4=(-2-2√3)/4=(-1-√3)/2；
当-1≦x≦1时得方程f(x)=-(x²-1)+x²+2x=2x+1=0，此时x=-1/2；
当x≧1时得方程f(x)=(x²-1)+x²+2x=2x²+2x-1=0，此时x=(-2+√12)/4=(-2+2√3)/4=(-1+√3)/2<1，故
此时方程无解。
(2)。当0<x≦1，f(x)=-(x²-1)+x²+kx=kx+1=0是一次方程，只可能有一个根x=-1/k，且k≦-1；
当1≦x<2时，f(x)=x²-1+x²+kx=2x²+kx-1=0，得x=[-k±√(k²+8)]/4，根号前只能取正号，即在[1，2)
内只可能有一个根x=[-k+√(k²+8)]/4，且1≦[-k+√(k²+8)]/4<2，即有4≦-k+√(k²+8)<8，由此解得
-7/2<k≦-1;
故当方程f(x)=0在(0，2)上有两个根x₁，x₂时，-7/2<k≦-1。
1/x₁+1/x₂=-k+4/[-k+√(k²+8)]=-k+4[k+√(k²+8)]/8=-k+(1/2)[k+√(k²+8)]
=(1/2)[√(k²+8)-k]<(1/2)[√(49/4+8)+(7/2)]=(1/2)[(9/2)+(7/2)]=(1/2)(16/2)=4.
即当k=-7/2时1/x₁+1/x₂获得最大值4；但因为k可以无限靠近-7/2，但不等于-7/2，故1/x₁+1/x₂<4.

Answer 2