Question

已知函数f(x)=lnx+x^2-ax,若函数f(x)在其定义域上是增函数,求实数a的取值范围

在线求解这道题 前两问都会 只求第三问

Answer 1

(1)
f(x)定义域为(0,+∞)
f'(x)=1/x+2x-a
若f(x)是增函数
那么f'(x)≥0
即a≤1/x+2x恒成立
∵x>0根据均值定理
∴1/x+2x≥2√2 【x=√2/2时等号成立】
∴a≤2√2
(2)
a=3
f'(x)=(2x^2-3x+1)/x=2(x-1)(x-1/2)/x
x (0,1/2) 1/2 (1/2,1) 1 （1，+∞）
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 增 极大 减 极小 增
f(x)极大=f(1/2)=-ln2-5/4
f(x)极小=f(1)=-2
(3)
a≤2√2时，
f(x)≤1/2(3x²+1/x²-6x)
即lnx+x²-ax≤1/2(3x²+1/x²-6x)
即ax≥lnx-1/2x²-1/(2x²)+3x
a≥lnx/x-1/2x-1/(2x³）+3
设g(x)=lnx/x-1/2x-1/(2x³）+3
需a≥g(x)max
g'(x)=(1-lnx)/x²-1/2+3/(2x⁴)
∵0<x≤1
∴1-lnx≥0 ,3/(2x⁴)≥3/2
∴g'(x)>0
那么g(x)是增函数
∴g(x)max=g(1)=3-1=2
∴2≤a≤2√2

追问

这是我考试的时候写的  最后的答案一样   不知道过程错在了哪里

追答

结果是对的，但过程有问题
不能用f(x)的最值与右边的1/2(3x²+1/x²-6x)的值比较呀

f(x)≤1/2(3x²+1/x²-6x)
不等价于
f(x)max≤1/2(3x²+1/x²-6x)

x是变量，对于x∈(0，1]的每一个值
都可以分别计算左右函数的值
左边不大于右边

应该整体作差后在分离出a.