Question

已知函数f（x）=lnx+x 2 -ax．（I）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；（II）当a=3

已知函数f（x）=lnx+x 2 -ax．（I）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；（II）当a=3时，求出f（x）的极值：（III）在（I）的条件下，若 f(x)≤ 1 2 (3 x 2 + 1 x 2 -6x) 在x∈（0，1]内恒成立，试确定a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）=lnx+x 2 -ax（x＞0），则f′（x）= 1 x +2x-a（x＞0）． ∵函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数， ∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即 1 x +2x-a≥0在（0，+∞）上恒成立． ∴ 1 x +2x≥a． ∵当x＞0时， 1 x +2x≥2 2 ，当且仅当 1 x =2x，即x= 2 2 时等号成立． ∴a的取值范围是（-∞，2 2 ]； （Ⅱ）当a=3时， f′(x)= (2x-1)(x-1) x (x＞0) 当0＜x＜ 1 2 或x＞1时，f′（x）＞0， 当 1 2 ＜x＜1时，f′（x）＜0 ∴f（x）在（0， 1 2 ）和（1，+∞）上是增函数，在（ 1 2 ，1）上是减函数， ∴f（x） 极大值 =f（ 1 2 ）=- 5 4 -ln2，f（x） 极小值 =f（1）=-2 （III）设 g(x)=f(x)- 1 2 (3 x 2 + 1 x 2 -6x) = lnx- 1 2 x 2 +(3-a)x- 1 2 x 2 ∴g′（x）= ( 1 x -x)+(3-a)+ 1 x 3 ∵a∈（-∞，2 2 ]，且x∈（0，1] ∴g′（x）＞0 ∴g（x）在（0，1）内为增函数 ∴g（x） max =g（1）=2-a ∵ f(x)≤ 1 2 (3 x 2 + 1 x 2 -6x) 在x∈（0，1]内恒成立， ∴2-a≤0，解得a≥2．