Question

已知函数f（x）=x2-2alnx （a∈且a≠0）． （1）若f（x）在定义域上为增函数，求实数a

已知函数f（x）=x2-2alnx （a∈且a≠0）．
（1）若f（x）在定义域上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．第二问怎么算

Answer 1

f(x)=x^2-2alnx

f'(x)=2x-2a/x在定义域上是增函数，则有f'(x)>=0在x>0上成立。
2x-2a/x>=0
2a<=2x^2,而x^2>0
即有a<=0
2.当a<=0时，函数单调增，则有最小值是f(1)=1-2aln1=1
当a>0时，f'(x)=2x-2a/x>0时有，x^2>a,x>根号a
f'(x)=2x-2a/x<0时有,x^2<a,0<x<根号a
故在X＝根号a时有极小值是f( 根号a)=a-2aln根号a=a-alna
(1)根号a<1,a<1时，最小值是f(1)=1
(2)1<根号a<2,1<a<4时，最小值是f(根号a)=a-alna
(3)根号a>2,a>4时，最小值是f(2)=4-2aln2