Question

已知函数f(x)=lnx+x^2-ax,如果f(x)在其定义域为增函数，求a的取值范围

Answer 1

f'(x)=(1/x)＋2x－a
因函数在定义域内是增函数，则：
f'(x)≥0对x>0恒成立，得：
a≤(1/x)＋2x
则a小于等于(1/x)＋(2x)的最小值
由于x>0，则(1/x)＋2x的最小值是2√2【基本不等式】
则：a≤2√2

追问

如果不用导数做，该怎么做哇？谢谢~

追答

对于含有lnx的函数研究，肯定是用导数。这是高考中的直观技巧。

追问

好的，谢谢啦~

Answer 2

f'(x)=1/x+2x-a=(2x²-ax+1)/x
定义域x>0
递增则f'(x)>0
显然只要分子大于0即可

2x²-ax+1=2(x-a/4)²-a²/8+1
若a/4<=0,则x>0是增函数
只要x=0,2x²-ax+1>0即可，显然成立
a/4>0,则x=a/4,最小值=-a²/8+1>0
a²<8
0<a<2√2

综上
a<2√2

追问

谢谢~

Answer 3

f`(x)=1/x+2x-a=(1+2x^2-ax)/x
令g（x）＝2x^2-ax+1≥0
即g（x）与x轴最多只有一个交点
∧＝（a）^2-4*2*1=a^2-8≤0
-2√2≤a≤2√2

追问

谢谢~

Answer 4

f'(x)=1/x+2x-a>=0;a<=1/x+2x;因为1/x+2x>=根号2，所以a要小于等于根号2

追问

谢谢~