Question

当0<x<π/2时,函数f(x)=(1+cos2x+8sin^2x)/sin2x的最小值

帮帮忙谢谢啦~

Answer 1

f(x)=(1+1-2sin²x+8sin²x)/(2sinxcosx)
=(1+3sin²x)/(sinxcosx)
=(cos²x+4sin²x)/(sinxcosx)
=cosx/sinx+4sinx/cosx
__________________
>=2√(cosx/sinx)*(4sinx/cosx) =4 (基本不等式)
当cosx/sinx=4sinx/cosx
_
即cosx=2sinx=2√5 /5时 取最小值4

Answer 2

令 tgx=t 0<x<π/2 有 t>0
则 cos2x=(1-t^2)/(1+t^2)
sin^2x=cos^2 x*tg^2 x=t^2/(1+t^2)
sin2x=2t/(1+t^2)
代入f(x)得
(1+cos2x+8sin^2x)/sin2x
=[1+(1-t^2)/(1+t^2)+8*t^2/(1+t^2)]/[2t/(1+t^2)]
=[(1+t^2)+(1-t^2)+8*t^2]/(2t)
=[2+8t^2]/(2t)
=1/t+4t
t>0时 1/t+4t>=2根号(1/t*4t)=4
t=2时等号成立
即x=arctan(2)时 f(x)有最小值4

Answer 3

把它化简一下，然后对x求导数，求出驻点再带入就行了