Question

讨论函数fx=x+a/x的单调性 a>0

求详细过程，最好手写，好的财富值追加。

Answer 1

f（x）的导数 为 1-a/x²（x≠0）， 1-a/x²=0，得x=±√a。

讨论：

当x >√a,导数大于0，函数单调递增

当x ∈（0,√a]，导数小于0，函数单调递减

当x ∈（-√a,0]，导数小于0，函数单调递减

当x <-√a,导数大于0，函数单调递增
综上得：

f(x)的单调增区间为(-∞,-√a]和[√a,+∞) ，f(x)的单调减区间为[-√a,0)和(0,√a]

Answer 2

解：f(x)=x+a/x (a＞0) 函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) 显然函数为奇函数, 只需讨论x＞0的情况即可 任取x1, x2∈(0,+∞), 且x1＜x2, x1-x2＜0,则 `f(x1)-f(x2) =(x1-x2)+(a/x1-a/x2) =(x1-x2)-a(x1-x2)/x1x2 =(x1-x2)(1-a/x1x2) =(x1-x2)(x1x2-a)/x1x2 ∵x1-x2＜0, x1x2＞0, a＞0 ∴当x1, x2∈(0,√a), 则x1x2＜a, 此时f(x1)＞f(x2) 即f(x)在(0,√a]上是减函数 当x1, x2∈(√a,+∞), 则x1x2＞a, 此时f(x1)＜f(x2) 即f(x)在[√a,+∞)上是增函数 根据奇函数性质 f(x)的单调增区间为(-∞,-√a]和[√a,+∞) f(x)的单调减区间为[-√a,0)和(0,√a]

Answer 3

f（x）的倒数 为 1-a/x²
=(x²-a)/x²

令导数=0
x=±√a
当x ∈（0,√a]，导数小于0，函数单调递减
当x >√a,导数大于0，函数单调递减

有因为f（x）=-f（-x）
函数为奇函数
对应到 x<0
在（-∞，-√a）递增，[-√a,0)递减

所以f（x）在
（-∞，-√a），（√a，+∞ ）递增，
[-√a,0)，（0，√a]递减
希望对你有所帮助！