Question

BP，CP分别是三角形ABC的外角平分线，且相交于点P，PE垂直AB于E，PF垂直AC于F。（1）

BP，CP分别是三角形ABC的外角平分线，且相交于点P，PE垂直AB于E，PF垂直AC于F。（1）求证点P在角A的平分线上。（2）若角A=50度，求角BPC的度数。

Answer 1

1、证明：过点P作PG⊥BC于G
∵PE⊥AB，PG⊥BC，BP平分∠CBF
∴PE＝PG
∵PF⊥AC，PG⊥BC，CP平分∠BCF
∴PF＝PG
∴PE＝PF
∴P在∠A的平分线上
2、解：
∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴∠AEP＝∠AFP＝90
∵∠A+∠AEP+∠AFP+∠EPF＝360，∠A＝50
∴∠EPF＝360-（∠A+∠AEP+∠AFP）＝130
∵PG⊥BC
∴∠PGB＝∠PEB＝90
∵BP平分∠CBE
∴∠CBP＝∠EBP
∵BP＝BP
∴△BPE≌△BPG （AAS）
∴∠BPG＝∠BPE＝∠EPG/2
同理可得：∠CPG＝∠FPG/2
∴∠BPC＝∠BPG+∠CPG＝（∠EPG+∠FPG）/2＝∠EPF/2＝130/2＝65°

Answer 2

解：分别过点P作PE⊥AB于E，PD⊥BC于D，PF⊥AC于F．
∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴PD=PE，PD=PF，
∴PE=PF．
∴点P必在∠BAC的平分线上．

又角BPC=180-(角PBC+角PCB)=180-1/2(角CBE+角BCF)=180-1/2(180-角ABC+180-角ACB)
=180-1/2(360-(角ABC+角ACB))
=1/2(角ABC+角ACB)
=1/2(180-角A)
=1/2(180-50)
=65度