Question

线性代数 考研 问题。

我下面这句话的描述对吗。
任何一个实对称矩阵和一个对角矩阵相似是他们合同的充分必要条件。(如果不是对角矩阵应该是不成立的。)
证明如下：
已知相似：p乘A乘p的逆等于一个对角矩阵，因为A是对称阵，所以存在此正交矩阵p，p的逆等于p的转置，所以合同。
已知合同：p乘A乘p的转置等于一个对角矩阵，因为A是对称阵，所以存在此正交矩阵p，p的逆等于p的转置，所以代入后相似。

Answer 1

错的很离谱了。
看你的叙述，你完全没理解合同和相似的差别。合同不是简单的把A、B换成实对称阵，逆矩阵换成转置矩阵就OK了。

矩阵合同有2个条件
1，AB都为实对称阵。
2，AB正负惯性指数都相同
只要满足这2就是合同，所以说对那个对角阵的元素几乎没有什么严格的要求，仅仅是正负惯性指数相同即可

而相似则苛刻太多了，所谓相似矩阵必须迹相等、秩相等、行列式相等、特征值相等，而且即便都相等也未必相似。所以相似对角化的元素只能是其特征值！

所以说相似（不一定对角阵），一定合同（特征值一样，正负惯性指数一定相同）；
而合同未必相似（合同可以特征值不同）

至于你假设的错误在于一点，实对称阵的确可由正交阵相似对角化，但合同定义本身并未要求转置矩阵必须为正交阵！所以说合同的那个转置矩阵未必等于其逆矩阵（但该矩阵必须可逆只不过非正交罢了），这就导致合同的对角阵千千万万。

Answer 2

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