Question

如图8,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=-x^2+4x+5的图像交x轴于点A、B，交y轴于点C，顶点为P，

点M是x轴上的动点。
（1）求MA+MB的最小值
（2）求MP-MC的最大值（3）当M在x轴的正半轴（不包含坐标原点）上运动时，以CP、CM为邻边作平行四边形PCMD。PCMD能否为矩形？若能，求M点的坐标；若不能，简要说明理由。

Answer 1

在平面直角坐标系中，二次函数y=-X2+4x+5的图像交x轴与点A,B(点A在点B的右边)，交y轴于点C，顶点为P，点M是射线OA上的一个动点（不与点O重回），点N是x轴负半轴上的一点，NH垂直CM,交CM(或CM的延长线)于点H，交y轴于点D，且ND=CM.1。求证：OD=OM.2.设OM=t，当t为何值时以C,M,P为顶点的三角形是直角三角形。3.问：当点M在射线OA上运动时，是否存在实数t，使直线NH与以AB为直径的圆相切？若存在，请求出相应的t值；若不存在，请说明理由。(1)证明：由题意得A(5,0),B(-1,0),C(0,5),P(2,9)
设M(x0,0)(x0>0),N(x1,0)(x1<0)
∴MC方程：y=-5/x0*x+5
∵NH⊥MC
∴NH方程：y=x0/5*(x-x1)
∴D(0,-x0x1/5)
|OM|^2=x0^2
|OD|^2=x0^2*x1^2/25
∵ND=MC
ND^2=x1^2+x0^2*x1^2/25：MC^2=x0^2+25
∴x1^2+x0^2*x1^2/25=x0^2+25
X1^2[(25+x0^2)/25]=x0^2+25===>x1^2=25==>|OD|^2=x0^2
∴|OM|^2=x0^2=|OD|^2==>OM=OD
(2)解析：设OM=t，M(t,0)
∵P(2,9),C(0,5)
向量MC=(-t,5),向量PC=(-2,-4)
向量MC*向量PC=2t-20=0==>t=10
∴当t=10时,以C,M,P为顶点的三角形是直角三角形
(3)假设t存在
以AB为直径的圆为：(x-2)^2+y^2=9，圆心为F(2,0)
显然当t=2时，满足题目要求
即M(2,0)
MC过圆心，交圆于H，则过H作HN⊥MC交X轴于N
∴HN必为圆的切线
∴满足题目要求的t=2存在。