Question

关于定积分和二重积分，详见下图

为什么这个二重积分

可变换成这个二重积分

，我知道积分变量不影响定积分的取值，但不知道这题是怎么变得，把X替换成Y，但积分上下限呢，总不能也直接换吧。如果第一个积分不是0——Y，而是0——2Y呢，下面那个又怎么变？

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Answer 1

这是有规律，只要把积分域D的图像画出来就容易判断了

如果积分限换成x = 0到x = 2y的话

照样先把积分域D的图像画下来，然后用箭头判断X型或Y型的方向

∫(0，1) dy ∫(0，2y) ƒ(x)ƒ(y) dx

y由y = 0变化到y = 1；x由x = 0到x = 2y，解方程y = 1和x = 2y得交点(2，1)

所以变换次序后，x = 0到x = 2，x = 2y ==> y = x/2，到y = 1

∫(0，2) dx ∫(x/2，1) ƒ(x)ƒ(y) dy

(二重积分的直角坐标计算一般画箭头是最好判断的)

追问

变积分次序的我知道了，本题还有一个问题，就是不交换积分次序，就是类似于定积分的变量代换，这个有分别怎么做呢？

追答

二重积分的换元法通常都是极坐标变换

主要分别是将直角坐标转移到极坐标，对于积分域是圆形的比较常用

以下是极坐标的变换过程：

也可以在直角坐标上转移积分域的位置，就是二重积分的变量变换：

不过，变换积分次序最好用了，没必要搞到这么麻烦。

Answer 2

x和y本来就是记录某个变量的符号而已啊。即便把x换成a把y换成b，对于函数的曲线和积分结果都没有任何影响。如果里面的积分是0到2y照样可以换啊。这里的变换只是将x换成y，y换成x，设二式里均是带’的。可以认为二式里x‘=y，y‘=x，然后积分上下限还有dx和dy就直接换过来了

Answer 3

能把完整的题目发上来呢？我相信肯定是有前提的！

Answer 4

追问

如果是非对称呢？就像我问的0——2Y之类的呢，交换积分次序的结果我知道了，但不交换积分次序的结果呢？

追答

如果被积函数非对称，那么就作变量替换，其实上面本质上就是作了变量替换得到下面的…………

追问

我知道上面那个图就是变量替换，X，Y互换，但前提是有一条线是x=y。如果线改成x=2y呢？就像我说的f(x)dx范围是0——2y呢？难道也能直接x,y互换？定积分中变量替换之后还要把上下限也改变，不过这题有点特殊，就是积分上下限是参数，而且这个参数和变量相同，所以，就不知道怎么变量替换了。可指教一下否？