Question

已知函数f(x)的定义域为R，对任意的x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)*f(y)当x＞0时，f(x)＞1

(1)求f(0)的值 (2)求证：f(x-y)=f(x)/f(y) (3)求证:f(x)是R上的增函数 (4)若f(2)=4,求f(n)(n∈N*，n≥2)的值

Answer 1

（1）令x>0，y=0
f(x+0)=f(x)*f(0)
f(x)=f(x)*f(0)
因为x>0时，f(x)>1≠0
所以f(0)=1

（2）令x=m-n y=n
f(m-n+n)=f(m-n)*f(n)
f(m)=f(m-n)*f(n)
f(m-n)=f(m)/f(n)
即f(x-y)=f(x)/f(y)

（3）令x=y=m/2
f(m/2+m/2)=f(m/2)*f(m/2)
f(m)=[f(m/2)]^2
如果存在m，使得f(m)=0
则对任意的y，有f(m+y)=f(m)*f(y)=0，这与f(x)>1矛盾
所以f(m)>0
即对任意的x，f(x)>0
令x>y，x-y>0
f(x)/f(y)=f(x-y)>1
所以f(x)>f(y)
所以f(x)是在R上的增函数

（4）f(1)*f(1)=f(1+1)=f(2)=4
f(1)=2
f(n+1)=f(1)*f(n)=2*f(n)
所以{f(n)}是以2为首项，2为公比的等比数列
f(n)=2^n