Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，角ABC=90度，AB=10，D为△ABC外一点，连接AD、BD，

如图，△ABC是等腰直角三角形，角ABC=90度，AB=10，D为△ABC外一点，连接AD、BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E。若△ABD是等边三角形，求DE的长。

Answer 1

解：因为△ABD是等边三角形，而DH为AB边上的高，根据等边三角形三线合一的性质，DH也是中线，那么BH=AH=1/2AB=5，那么DH=√(5^2+10^2)=5√3
又因为∠AHD=∠ABC=90°，∠A=∠A，那么△AHE∽△ABC，那么HE/BC=AH/AB=1/2
所以HE=1/2BC=5
那么DE=DH-HE=5√3-5

追问

明白点

追答

我还以为我写的太复杂了，把自己鄙视了一番……
你哪里不明白呢？

追问

上面，那么DH等于什么

追答

在Rt△ADH中，由勾股定理得
DH^2+AH^2=AD^2
其中AD=AB=10,AH=5
那么DH^2=10^2-5^2=75
DH=√75=√(25*3)=5√3

Answer 2

∵DH⊥AB CB⊥AB
∴DH∥CB（垂直于同一条直线的两直线平行）
∵△ADB是等边三角形 DH⊥AB
∴DH平分AB（等边三角形底边上的高平分底边）

且DH=√3/2AB=√/3/2×10=5√3
∴EH是△ACB的中位线
EH=1/2CB=1/2×10=5
∴DE=DH－EH=5√3－5

=5（√3－1）