Question

已知y1=xe^x+e^2x,y2=xe^x+e^-x,y3=e^2x-e^-x+xe^x 是某二阶常系数非奇次线性微分方程的三个解求微分方程

要可以直接给老师的具体步奏！

Answer 1

这道题是前几年的数学竞赛题  我这还留有卷子了 貌似是09年的

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

y''-y'-2y=(1-2x)e^x

Answer 4

Answer 5

观察三个解的相同之处：xe^x
不同的地方，有的有e^2x,e^-x,或者两者组合且系数不一样

所以根据
二阶常系数非奇次线性微分方程
的解的特殊性
即是齐次解+特解的构成，而且齐次解包含两个任意常数，
而特解是唯一确定的，即每个解的特解部分是一样的。
所以xe^x是特解
线性无关的e^2x和e^-x是齐次解，即方程右端项为0的解
所以如果r是特征根的话，那么通解是e^rx,所以r=2,-1
一个满足的特征根方程为(r-2)(r+1)=0
即r^2-r-2=0
则齐次二阶微分方程为
y''-y'-2y=0
对于右端项只需代入特解y=xe^x
即得
又y'=e^x+xe^x=(1+x)e^x
y''=e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x
所以
y''-y'-2y=(1-2x)e^x