Question

设a，b∈R.证明:若对任何正数q有a-b的绝对值小于q，则a=b.（大一数学分析第一课啊，求给力

设a，b∈R.证明:若对任何正数q有a-b的绝对值小于q，则a=b.（大一数学分析第一课啊，求给力）…

Answer 1

设ab∈R证明若对任何正数ε有a-b

反证法：

假设a＞b,

令ε＝（a-b)/2 (ε＞0)

则，a-b＞ε

与题设a-b＜ε矛盾。

所以，假设错误，

所以，a≤b

绝对值

是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“| |”来表示。|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。

在数学中，绝对值或模数| x | 的非负值，而不考虑其符号，即|x | = x表示正x，| x | = -x表示负x（在这种情况下-x为正），| 0 | = 0。例如，3的绝对值为3，-3的绝对值也为3。数字的绝对值可以被认为是与零的距离。

实数的绝对值的泛化发生在各种各样的数学设置中，例如复数、四元数、有序环、字段和向量空间定义绝对值。绝对值与各种数学和物理环境中的大小，距离和范数的概念密切相关。

Answer 2

这不显然吗，a-b的绝对值小于q，而q是任意正数，那a-b的绝对值就只有可能是0或者负数，绝对值不可能是负的，所以a-b的绝对值等于0.所以a=b。

当然，你可以这样做：
假设a=b不成立，根据实数有序性必有a>b或者a<b，从而a-b的绝对值必定大于0。即a-b的绝对值是正数，则必然存在一个正数小于a-b的绝对值，你可以设这个正数为q嘛。则有a-b的绝对值大于某正数q。矛盾啊，假设不成立了。证毕。

Answer 3

假设a不等于b,那么有必|a-b|=m(m为定值)，任取正数q，根据实数的稠密性，一定回取到q<m,与已知条件a-b的绝对值小于q矛盾。

Answer 4

有理数在实轴上稠密