Question

若函数f(x)=4x/(x^2+1)在区间(m,2m+1)上是增函数，则m∈______

Answer 1

解：f(-x)=-f(x)，f(x)在R上为奇函数，故只需考查x≥0时的单调性。
当x>0时，f(x)=4x/(x^2+1)=4/(x+1/x)=4/[(√x-1/√x)^2+2]
显然，当x>1时，√x>1/√x，分母大于0且随着x的增大而增大，故f(x)单调减小；
当0<x≤1时，f(x)=4x/(x^2+1)=4/(x+1/x)=4/[(1/√x-√x)^2+2]，1/√x≥√x，分母大于0且随着x的增大而减小，故f(x)单调递增。
当x=0时，f(x)=0。故f(x)在[0,1]上单调递增。
考虑奇函数的对称性，在R+上的递增区间，对应的R-上的区间也仍为递增区间。故f(x)在[-1,0]上也单调递增。
于是函数f(x)的单调递增区间为[-1,1]
而区间（m,2m+1）上是单调递增函数，故只需
-1≤m≤1
-1≤2m+1≤1
m<2m+1
解得-1<m≤0