Question

多复变函数是什么

Answer 1

自从复变函数的理论被广泛应用于数学的各个分支后，人们自然想把复分析推广到任何多个自变量，以及任何多个因变量的复向量值函数上。
　　多复变函数就是研究这类推广的复变函数。
　　一开始，人们认为这种推广只不过是形式上的照搬而已，但是很快人们就发现多复变函数与单复变函数有着许多差异。
　　首先，多复变函数什么时候是全纯函数？Hartoges 花了很大的力气才证明：多复变函数全纯当且仅当它对每个自变量都是全纯的。 这个结论看似简单，实则难矣。迄今为止，人们都没有找到一个简化的证明。
　　其次， 关于函数的延拓也存在着极大的差异。我们知道，复平面上任何单连通的开集上都存在一个单复变函数，它不能延拓到这个开集之外--满足这种性质的开集叫做全纯域。但是在多复变函数里却发生了奇特的现象：有一些开邻域，它们上面的任何全纯函数都可以延拓到外面去。这种现象称为Hartoges现象。 如果一个开邻域不能发生Hartoges现象，我们就成这个领域为全纯域。