Question

求解高数的一道题，证明不等式:0<a^(1/n)-1<a-1/n

Answer 1

　　记 f(x) = x^(1/n)，易验 f(x) 在 [1, a] 连续，在 (1, a) 可导，据 Lagrange 中值定理，存在 ξ∈ (1, a)，使
　　　　f(a) - f(0) = f'(ξ)(a-1) = [(a-1)/n]*ξ^(1/n - 1)，
从而有
　　　　0 <f(a) - f(0) < (a-1)/n，
故命题得证。

Answer 2

x=a^(1/n)
a>1
x>1
n(x-1)<x^n-1
n(x-1)<(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x^2+x+1)
n<x^(n-1)+x^(n-2)+...+x^2+x+1
右边n个数，除了1，其他都大于1