Question

P点在曲线y=1/2ex次上，Q在y=ln（2x）上，PQ最小值是多少

Answer 1

解：
∵函数y=1/2e^x与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称
函数y=1/2e^x上的点P(x，1/2 e^x)到直线y=x的距离为d=|1/2e^x-x|/ √2
设g（x）=1/2 e^x-x，（x＞0）则g′(x)=1/2 e^x-1
由g′(x)=1/2 e^x-1≥0可得x≥ln2，
由g′(x)=12 e^x-1＜0可得0＜x＜ln2
∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增
∴当x=ln2时，函数g（x）min=1-ln2
dmin=(1-ln2)/ √2
由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为2dmin= √ 2 (1-ln2)

Answer 2

设P点坐标 （a, (1/2)e^a）,Q点坐标(b, ln(2b))
PQ=（a-b）^2 + ((1/2)e^a-ln(2b))^2=f(a,b)
f'a(a,b)=2(a-b)+2((1/2)e^a-ln(2b))(1/2)e^a=0
f'b(a,b)= -2(a-b)-2((1/2)e^a-ln(2b))/b=0
两式相加得到((1/2)e^a-ln(2b))( (1/2)e^a-1/b)=0;
同时得到a=b;
从而PQ=(1/2)e^a-ln(2a)=g(a)
g'(a)=(1/2)e^a -1/a=0; a=0.8526=b。
带入公式，从而计算得到PQ的最小距离。

Answer 3

画图。找出最短