Question

【数学题，要过程】已知关于x的一元二次方程x²-(2k+1)x+k²+2k=0有两个实数根x1，x2.

【数学题，要过程】
已知关于x的一元二次方程x²-(2k+1)x+k²+2k=0有两个实数根x1，x2.
（1）求实数k的取值范围
（2）是否存在实数k使得x1*x2-x1²-x2²≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

b²-4ac
=(2k+1)²-4(k²+2k)
=4k²+4k+1-4k²-8k
=-4k+1
∵有两个实数根
∴-4k+1>=0
∴k<=1/4

2、根据根与系数关系得
x1x2-x1²-x2²=-x1²-2x1x2-x2²+3x1x2=-(x1+x2)²+3x1x2=-(2k+1)²+3(k²+2k)
=-4k²-4k-1+3k²+6k
=-k²+2k-1
=-(k-1)²
∵x1*x2-x1²-x2²≥0
∴ -(k-1)²>=0
∴k=1
又∵k<=1/4
∴不存在k值

Answer 2

（1）△≥0就OK。答案为k≤1/4
（2）用根与系数关系代入就好。
x1*x2-x1²-x2²=x1*x2-（x1+x2）²+2x1*x2
解得要存在必须k=1.但是第一题已经知道k的范围。所以不存在。

Answer 3

解：
x²-(2k+1)+k²+2k=0
方程有两不等实根，判别式△>0
[-(2k+1)]²-4(k²+2k)>0
4k<1 k<1/4
由韦达定理得x1+x2=2k+1 x1x2=k²+2k
x1x2-x1²-x2²
=x1x2-(x1+x2)²+2x1x2
=3x1x2-(x1+x2)²
=3(k²+2k)-(2k+1)²
=-k²+2k-1
=-(k-1)²
k<1/4<1 k-1<0 (k-1)²>0 -(k-1)²<0，即x1x2-x1²-x2²恒<0
不存在实数k，使x1x2-x1²-x2²≥0成立。

Answer 4