Question

如图,△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线

如图,△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.(1)探索OE与OF之间的数量关系并加以证明﹙2﹚当点O在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗?若是，请证明；若不是，则说明理由（3）当点O运行到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形

Answer 1

（1）OE=OF。 因为MN//BC，且CE与CF分别是角平分线，所以<ACE=<OEC,<OCF=<OFC。所以OE=OC=OF。
（2）不可能是菱形。假设是菱形，那么菱形的四条边都相等，因此CF=EF，又因为<FCE=90度，EF是斜边，故EF>CF，所以不可能是菱形。
（3）同上，需满足条件CE=CF，即<CEF=<CFE=<ECO=<FCO=45度。因此<ACB=90度时。有因为正方形的对角线相互平分且垂直，所以AO=OC=OE=OF，因此点O在中点。
即当O在AC中点，且△ABC的<FCE=90度时，四边形AECF是正方形。