Question

麻烦您帮忙解道数学题，谢谢！

f(x)=log2 (2-2^x) 判定单调性并证明
（注：式子中的第一个2是log下的那个小小的2，因为打不出来）

请求数学高手帮忙解答，谢谢！
(2-2^x1)/(2-2^x2)=(1-2^(x1-1))/(1-2^(x2-1))？这一步大哥您跳步了吧？我看不大懂，这道题我自己做过的，我也知道基本思路步骤，问题就是中间的那个变形我难以懂，麻烦您详细一点，谢谢啊~~

不可能我连题自己都没做过没思考过就拿来问的，是校对答案之后不理解的，那位试用期的朋友看来是什么难题自己都能解答出来而不用谦虚求问的高人了。

Answer 1

先求定义域

2-2^x > 0
所以 x<1

然后证明单调性为减：
任取x1<x2<1
f(x1)-f(x2) = log2(2-2^x1)-log2(2-2^x2)
= log2 [(2-2^x1)/(2-2^x2)]
= log2 [(1-2^(x1-1))/(1-2^(x2-1))]
= log2(1 + (2^(x2-1)-2^(x1-1) / (1-2^(x2-1)) )
因为x1<x2<1
所以x1-1<x2-1<0
所以 2^(x2-1) > 2^(x1-1)，2^(x2-1)<2^0 = 1
所以 (2^(x2-1)-2^(x1-1)〉0
(1-2^(x2-1))〉0
所以f(x1)-f(x2)= log2 (1+正数) > log2(1) = 0
所以f(x1)>f(x2)
是减函数。

问题补充：(2-2^x1)/(2-2^x2)=(1-2^(x1-1))/(1-2^(x2-1))？这一步大哥您跳步了吧？我看不大懂，这道题我自己做过的，我也知道基本思路步骤，问题就是中间的那个变形我难以懂，麻烦您详细一点，谢谢啊~~

上下同除以2啊……
这能叫跳步么……？

Answer 2

看书上例题用基本方法应该能证出来的。改是自己尽量做才能提高数学成绩的…