Question

这道高中数学题网上很多人问，我想说为什么我的做法不对呢？

设g（x）是定义在R上的以1为周期的函数，若f（x）=x+g（x）在区间[0,1]上的值域为[-2,5]，则f（x）在区间[0,3]上的值域为?
我的做法是：在[0,1]内，因为f（x）属于[-2,5] 而x属于[0,1],也就是-x属于[-1,0]，则g（x）=f（x）-x属于[-3,5]，即而g（x）是以1为周期的周期函数，所以既然g（x）在[0,1]上的值域为[-3,5]，那么在[0,3]的值域也是[-3,5],而x在[0,3]的值域是[0,3]，则f（x）=g（x）+x在[0,3]的值域是[-3,8]。
这样做错的原因是不是因为第一次在算g（x）的时候，用到了x的范围，第二次再算f（x）的范围时，g（x）已经受到了第一次x的范围影响，不可以直接加上x的范围呢？求指教

Answer 1

嗯，错了，首先你第一次算g（x）的范围为[-3,5]时，已经默认当x=1时 g（x）=-3，所以x=0是g（x）=5，因此g（x）在[0,1]是减函数，随着x的范围增大为[0,3]，必须分开讨论周期函数g（x）在[1，2]及[2，3]上的情况，g（x）在x=2、3取得最小值为-3，同时又在x=1、2取得最大值5，所以f（x）在[1，3]区间上最大为7 最小为-1 而f(x)在[0，1]已经讨论过为[-2，5]因此综上所述
答案为[-2，7] 希望能帮到你0 0

追问

你说的很明白详细，而且正好是我想举的特例，比如假设f(x)是减函数，但是不可能在2处又是最大又是最小，这个有点问题，可能还是不能举这个例子吧？

追答

恩，题面是这样，只能这么考虑啊

Answer 2

解：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）
函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]【正好是一个周期区间长度】的值域是[-2，5]
令x+1=t，当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]
此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）
=[x+g（x）]+1
所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[-1，6]…（1）
同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3]
此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x）
=[x+g（x）]+2
所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7]…（2）
由已知条件及（1）（2）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[-2，7]

追问

我知道怎么做，我问的是我的做法为什么不对……还是感谢你的回答

追答

错的原因很简答呀，就是你默认了当x=0的时候g（x）=-3，x=3时，g（x）=5.可是题目并没有告诉你是单调递增的呀

Answer 3

我的做法是：在[0,1]内，因为f（x）属于[-2,5] 而x属于[0,1],也就是-x属于[-1,0]，**********则g（x）=f（x）-x属于[-3,5]*******这个地方是错的，题中并未说明函数的单调性

追问

嗯，明白了

追答

采纳谢谢

Answer 4

g(x)在区间上0.1上的值域应该是-2,4
还没写完~
问一下 最后答案是不是-1到6？？