Question

高一数学比较难的题目（关于抽象函数的单调性）

已知定义在R上的函数f(x)满足：①值域为(-1,1)，且当x>0时，-1<f(x)<0；试回答下列问题：(1)试求f(0)的值；(2)判断并证明函数f(x)的单调性

Answer 1

(1)f(m+n)=[f(m)+f(n)]/[1+f(m)f(n)]令m=n=0,代入得：f(0)=2f(0)/{1+[f(0)]^2}则：f(0)=0或1而f(x) 的值域为（-1，1），故只取f(0)=0(2)令m=-n,代入f(m+n)=[f(m)+f(n)]/[1+f(m)f(n)]得：f(0)=0=[f(-n)+f(n)]/[1+f(-n)f(n)]则f(-n)=-f(n)故函数f(x)为奇函数。由于奇函数的单调性在X轴的正半轴和负半轴的奇偶性是完全一致的，因此令：m>0,n>0则：-1<f(m)<0; -1<f(n)<0; 0<f(m)f(n)<1; 0<[f(n)]^2<1故：f(m+n)-f(n)=[f(m)+f(n)]/[1+f(m)f(n)]-f(n)=f(m){1-[f(n)]^2}/[1+f(m)f(n)]<0即：f(m+n)<f(n)所以函数f(x)为单减函数。