Question

在△ABC中，AB=AC=8， ∠BAC=120°，去一把含30°角的三角 板，把30°角的顶点D

在△ABC中，AB=AC=8， ∠BAC=120°，去一把含30°角的三角 板，把30°角的顶点D放在BC边上运 动（不与B,C重合），另一边与边AC 交于点F。 在△ABC中，AB=AC=8， ∠BAC=120°，去一把含30°角的三角 板，把30°角的顶点D放在BC边上运 动（不与B,C重合），另一边与边AC 交于点F。 1.△BAD与△CDF相似吗？ 若相似，请证明，若不相似，请说明 理由 2.设BD=x,AF=y,求y 与x的函数 关系式，并指出x的取值范围 3.当 △ADF是等腰三角形时，求AF的长

Answer 1

1）若要证明△BDE∽△CFD，只要找到两对相等的角即可，利用等腰三角形的性质和30°角的特点证明即可；
（2）△BDE与△CFD相似，证明思路和（1）相同；
（3）△BDE与△DFE相似，根据由一对角相等以及夹边的比值相等的两个三角形相似证明即可；
（4）由（1）可知△ABD∽△DFC，得到
AB
DC
＝
BD
CF
，根据勾股定理求出底边BC的长，因为BD=x，所以CD=BC-x，AF=y，则CF=8-y，代入比例式整理即可得到y关于x的函数解析式．
（1）证明：∵AB=AC=8，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°
∴∠BDE+∠BED=150°，
∵∠EDF=30°，
∴∠BDE+∠CDF=150°，
∴∠BED=∠CDF，
∴△BDE∽△CFD；

（2）解：△BDE与△CFD相似，理由如下：
∵AB=AC=8，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BDE+∠BED=150°，
∵∠EDF=30°，
∴∠BDE+∠CDF=150°，
∴∠BED=∠CDF，
∴△BDE∽△CFD；

（3）△BDE与△DFE相似，理由如下：
∵△BDE∽△CFD，
∴
BE
CD
＝
DE
FD
，
∵BD=CD，
∴
BE
BD
＝
DE
FD
，
∴
BE
DE
＝
BD
FD
，
又∵∠B=∠FDC=30°，
∴△BDE∽△DFE；

（4）由（1）可知△ABD∽△DFC，
∴
AB
DC
＝
BD
CF
，
∵AB=AC=8，
∴BC=8
3
，
∵BD=x，AF=y，
∴CD=8
3
-x，CF=8-y，
∴
8
8
3
−x

＝
x
8−y
，
∴y=
1
8
x2-
3
x+8．