Question

在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若角C=90°,△ABC是锐角或钝角三角形,则a²+b²与c²的关系？

Answer 1

在任意△ABC中，设c为最大边，那么∠C就是最大角
即，∠C＞∠B≥∠A
所以，∠A+∠B+∠C＜∠C+∠C+∠C=3∠C
又，在三角形ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
所以：3∠C＞180°
即：60°＜∠C＜180°，且∠C≠90°……………………（1）
而，在△ABC中，根据余弦定理有：
c^2=a^2+b^2-2abcosC………………………………………（2）
所以，由(1)知，当60°＜∠C＜90°时，cosC＞0
那么，由(2)知道：
c^2＜a^2+b^2
当90°＜∠C＜180°时，cosC＜0
那么，由(2)知道：
c^2＞a^2+b^2
综上：
当c为最大边时：
1)若△ABC为锐角三角形，那么就有：c^2＜a^2+b^2
2)若△ABC为钝角三角形，那么就有：c^2＞a^2+b^2
当然，
3）若△ABC为直角三角形，那么就有：c^2=a^2+b^2
当△ABC为锐角三角形时，
作CD⊥AB,垂足D,设AD=m,则BD=c-m
根据勾股定理有：
b²-m²=CD²，（a-m)²+CD²=c²
即（a-m)²+b²-m²=c²
a²-2am+b²=c²
a²+b²-c²=2am＞0（a,m都是正数）
所以a²+b²＞c²
若△ABC为钝角三角形，
b²-m²=CD²，（a+m)²+CD²=c²
a²+2am+b²=c²
c²-（a²+b²）=2am＞0
所以c²＞a²+b²