Question

什么叫做单调性，如何理解。

Answer 1

单调性是函数中的一个概念，它是指函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。
函数的单调性也叫函数的增减性.函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.
函数图

单调性 - 基本方法
先要弄清概念和研究目的,因为函数本身是动态的，所以判断函数的单调性、奇偶性，还有研究函数切线的斜率、极值等等，都是为了更好地了解函数本身所采用的方法。其次就解题技巧而言，当然是立足于掌握课本上的例题，然后再找些典型例题做做就可以了，这部分知识仅就应付解题而言应该不是很难。最后找些考试试卷题目来解，针对考试会出的题型强化一下. 　　
1. 把握好函数单调性的定义。证明函数单调性一般（初学最好用定义）用定义（谨防循环论证），如果函数解析式异常复杂或者具有某种特殊形式，可以采用函数单调性定义的等价形式证明。另外还请注意函数单调性的定义是[充要命题]。 　　
2. 熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间。理解并掌握判断复合函数单调性的方法：同增异减。 　　
3. 高三选修课本有导数及其应用，用导数求函数的单调区间一般是非常简便的。 还应注意函数单调性的应用，例如求极值、比较大小，还有和不等式有关的问题。 　　
一般的，求函数单调性有如下几个步骤： 　　
1、取值X1,X2属于{？}，并使X1<X2< 　
2、作差f(x1)-f(x2) 　　
3、变形 　　
4、定号（判断f(x1)-f(x2)的正负） 　　
5、下结论
判断复合函数的单调性
1.导数 　　
2.构造基本初等函数（已知单调性的函数） 　　
3.复合函数 　　根据同增异减口诀，先判断内层函数的单调性，再判断外层函数单调性，在同一定义域上，若两函数单调性相同，则此复合函数在此定义域上为增函数，反之则为减函数。 　　
4.定义法 　　
5.数形结合 　　
复合函数的单调性一般是看函数包含的两个函数的单调性 　　（1）如果两个都是增的,那么函数就是增函数 　　（2）一个是减一个是增,那就是减函数 　　（3）两个都是减,那就是增函数
复合函数求导公式
F'(g(x)) = [ F(g(x+dx)) - F(g(x)) ] / dx ...... 　　(1) g(x+dx) - g(x) = g'(x)*dx = dg(x) ........ 　　(2) g(x+dx) = g(x) + dg(x) ......... 　　(3) F'(g(x)) = [ F(g(x) + dg(x)) - F(g(x)) ] /dx = [ F(g(x) + dg(x)) - F(g(x)) ] / dg(x) * dg(x)/dx = F'(g) * g'(x) [1]
单调性 - 特征
一般地，设函数f(x)的定义域为I： 　　如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)。那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。 　相反地，如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。[2]
单调性 - 基本性质
⒈ 增函数与减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1、x2时都有f(x1)< f(x2).那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。

⒉ 单调性与单调区间
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
在单调区间上,增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的。
单调性 - 规律
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 　　在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。 　　
注：在单调性中有如下性质。
图例：↑（增函数）↓（减函数） 　　
↑+↑=↑　两个增函数之和仍为增函数 　　
↑-↓=↑　增函数减去减函数为增函数 　　
↓+↓=↓　两个减函数之和仍为减函数 　　
↓-↑=↓　减函数减去增函数为减函数
单调性 - 例题解析
判断函数的单调性y = 1/( x^2-2x-3)。 　　
设x^2-2x-3=t， 　　令x^2-2x-3=0， 　　
解得：x=3或x=-1， 　　
当x>3和x<-1时，t>0， 　　
当-1<x<3时，t<0。 　　
所以得到x^2-2x-1对称轴是1。 　　
根据反比例函数性质： 　　
在整个定义域上是1/t是减函数。 　　
当t>0时，x>3时， 　　
t是增函数，1/t是减函数， 　　
所以（3，+∞）是减区间， 　　
而x<-1时，t是减函数， 　　
所以1/t是增函数。 　　
因此（-∞，-1）是增区间， 　　
当x<0时， 　　-1<x<1,t是减函数， 　　
所以1/t是增函数， 　　因此（-1，1）是增区间， 　　
而1<x<3时，t是增函数，1/t是减函数， 　　
因此（1，3）是减区间， 　　
得到增区间是（-∞，-1）和（-1，1）， 　　（1，3）和（3，+∞）是减区间。

Answer 2

在一定区间内，函数的y随着x一直增加或减少，这就是单调的，在这个区间内。还有，这个区间必须是连续的，例如一次函数，y=2x,x可以取任意实数R，随着x 的增加，y也在逐渐增加，这就可以说这个函数在R上单调递增。