Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，且2AD²=BD²+CD²

求证：△ABC是直角三角形

Answer 1

因AB=AC，易知⊿ABC为等腰三角形
则∠B=∠C
由三角形内角和定理知∠A=180°-2∠B

在⊿ABD中，由余弦定理有AD^2=AB^2+BD^2-2AB*BDcos∠B（I）
在⊿ACD中，由余弦定理有AD^2=AC^2+CD^2-2AC*CDcos∠C
注意到AB=AC，∠B=∠C
即有AD^2=AB^2+CD^2-2AB*CDcos∠B（II）
由（I）+（II）有2AD^2=2AB^2+(BD^2+CD^2)-2AB(BD+CD)cos∠B
因2AD^2=BD^2+CD^2，而BD+CD=BC
则有AB=BCcos∠B（*）
这表明BC在AB上的射影正好是AB
即AC⊥AB
即⊿ABC为等腰直角三角形

事实上，在⊿ABC中，由余弦定理有BC^2=AB^2+AC^2-2AB*ACcos∠A
注意到AB=AC，∠A=180°-2∠B，cos(180°-2∠B)=-cos2∠B
即BC^2=2AB^2(1+cos2∠B)（**）
由（*）（**）得2(1+cos2∠B)(cos∠B)^2=1
因1+cos2∠B=2(cos∠B)^2
则(cos∠B)^4=1/4
即(cos∠B)^2=1/2
注意到∠A>0，即180°-2∠B>0，即∠B<90°
所以cos∠B>0
由(cos∠B)^2=1/2得cos∠B=√2/2
即∠B=45°
于是∠A=180°-2∠B=90°

Answer 2

令D点取在BC中点，即E点处
因为AB=AC，根据等腰三角形性质AD⊥BC
AD²+BD²=AB² （1）
AD²+CD²=AC²=AB² （2）
（1）-（2），得
BD²-CD²=0
BD²=CD² 代入
2AD²=BD²+CD²，得
AD=BD=CD，所以
△ABD和△ACD都是等腰直角三角形，所以∠B=∠C=45°
所以△ABC是等腰直角三角形

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