Question

如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于

如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An-1BC的平分线与∠An-1CD的平分线交于点An．设∠A=θ．则：
（1）∠A1= ；
（2）∠An= ．

Answer 1

（1）∠A1=θ/2；
（2）∠An=θ/2n．
　　考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质．
　　专题：压轴题；规律型．
　　分析：（1）根据角平分线的定义可得∠A1BC=
　　1/2∠ABC，∠A1CD=1/2∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解；
（2）与（1）同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的1/2，根据此规律即可得解．

　　解答：解：（1）∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC=
　　1/2∠ABC，∠A1CD=1/2∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴1/2（∠A+∠ABC）=1/2∠ABC+∠A1，
∴∠A1=1/2∠A，
∵∠A=θ，
∴∠A1=θ/2； （2）同理可得∠A2=1/2∠A1，=1/2•1/2
　　θ=θ/22，
所以∠An=θ/2n．
故答案为：（1）θ/2，（2）θ/2n．

　　点评：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．