Question

如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交与点F

（1）求证：FD²=FB·FC
（2）若G是BC的中点，连接GD,GD与EF垂直吗？并说明理由

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中唤亮线．

专题：综合题．

分析：（1）要求证：FD²=FB•FC，只要证明△FBD∽△FDC，从而转化为证明∠FDC=∠FBD；
（2）要证DG⊥EF，只要证明∠BDG+∠BDF=90°，转化为证明弊埋∴∠CDG=∠DCG即可．

 

（1）证明：

∵E是Rt△ACD斜边中点，
∴DE=EA，
∴∠A=∠ADE，
∵∠BDF=∠ADE，
∴∠BDF=∠A，
∵∠FDC=∠CDB+∠BDF=90°+∠BDF，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A，
∴∠FDC=∠FBD，
∵∠F是公共角，
∴△FBD∽△FDC．
∴FB/FD=FD/FC
∴FD²=FB•FC．

（2）GD⊥EF．
理由如下：
∵DG是Rt△CDB斜边上的中线，
∴DG=GC．
∴∠CDG=∠DCG．
由（1）得∵△FBD∽△FDC，
∴∠DCG=∠BDF，
∴∠CDG=∠BDF．
∵∠CDG+∠BDG=90°，
∴∠BDG+∠BDF=90°．
∴DG⊥EF．

 

点评：证明线段的积相和卜宽等可以转化为证明三角形相似，证明两直线垂直转化为证明形成的角是直角．