Question

已知二次函数f（x）＝ax²+bx （a,b为常数，且a≠0），满足条件f（1+x）＝f（1-x）

已知二次函数f（x）＝ax²+bx （a,b为常数，且a≠0），满足条件f（1+x）＝f（1-x）且方程f（x）＝x有等根。
①求f（x）的函数解析式
②当x∈〔1，2〕时，求f(x)的值域
③若F（x）＝f（x）-f（-x），试判断F（x）的奇偶性，并证明你的结论

Answer 1

因为 f（1+x）＝f（1-x）
所以 a(1+x)^2+b(1+x)=a(1-x)^2+b(1-x)
有 2x(2a+b)=0
2a+b=0
b=-2a .....(1)
因为f（x）＝x有等根
ax^2+bx=x x=0 x=(1-b)/a a≠0
有等根即 x=(1-b)/a =0
所以b=1 a=-1/2
2).f（x）＝-1/2x²+x 对称轴在x=1 当x∈〔1，2〕时，单调减 值域为:(0,1/2)
3).若F（x）＝f（x）-f（-x），
F（x）＝f（x）-f（-x）=-1/2x²+x-{-1/2(-x)²+(-x)}
整理得:F（x）＝2x
F（-x）=2(-x)=-2x=-F（x）
所以F（x）是奇函数

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