Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件

已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x-1）=f（3-x）且方程f（x）=2x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数y=√f（x）的单调区间和值域.

Answer 1

1. f（x-1）=f（3-x）所以f（x）的对称轴为x0=[(x-1)+(3-x)]/2=1所以-b/2a=1有b=-a即f(x)=ax^2-2ax，而f(x)=2x即ax^2-2(a+1)x=0有相等的根所以Δ=b^2-4ac=(a+1)^2=0有a=-1 所以f(x)=-x^2+2x

2. 因为y=√(-x^2+2x)=√[-(x-1)^2+1]，因为根号下要大于等于0所以x∈[0,2]，而f(x)=-(x-1)^2+1≤1为对称轴x=1，开口向下的抛物线所以y=√f（x）在[0,1]上单调递增，在(1,2]上单调递减。值域为[0,1]