Question

请问不等式：n为正整数，{（n+1）^[1/(n+1)]} +{ 1/[n^(1/n)]}>2 是否成立，给出理由。

在连续的情况（将n改为x,x>=1上述不等式）下是否成立？

Answer 1

当x≥1时，不等式是成立的。

【附注】题中函数的图象：

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Answer 2

在连续的情况,将n改为x,x≥1,求证不等式成立:
T(x)=(x+1)^(1/(x+1))+1/(x^(1/x))
x=1,T(x)=2.414,
x->∞, T(x)->2
导数T '(x) (谷歌搜索 online derivative calculator 取得这结果的步骤 )

=(x+1)^(1/(x+1))[1/(x+1)^2 – ln(x+1)/(x+1)^2]+[ln(x)/x^2-1/x^2]/x^(1/x)
<0

T(x)是单调减函数
∴T(x)>2

S(n)=(n+1)^(1/(n+1))+1/(n^(1/n))
S(1)=2.414,

lim (n->∞) S(n)=2
n是x中正整数,S(n)是单调减函数 (或在绘制图可以观察到)

∴S(n)>2

Answer 3

证明有误， 删啦。

Answer 4

1+1/n^2 + 1/(n+1)^2
=1+(n^2+n^2+2n+1)/n^2(n+1)^2
=1+2(n^2+n)/n^2(n+1)^2 + 1/n^2(n+1)^2
=1+2/n(n+1) + 1/n^2(n+1)^2
=[1+1/n(n+1)]^2
所以原式 = 1+1/n(n+1)

Answer 5

解

追答

∵(n+1)^(1/(n+1))＞
n^(1/n)
∴(n+1)^(1/(n+1))+
1/(n^(1/n))＞n^(1/n)+
1/(n^(1/n))≥2

当x≥1时，在连续的条件下，(x+1)^(1/(x+1))
+1/(x^(1/x))＞2成立.