Question

设f(x)=e^x/1+ax^2,其中a为正实数.(1)当a=4/3时,求f(x)的极植,(2)若

设f(x)=e^x/1+ax^2,其中a为正实数.(1)当a=4/3时,求f(x)的极植,(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围。

Answer 1

设f(x)=e^x/1+ax^2,其中a为正实数.(1)当a=4/3时,
f(x)=e^x/[1+4x^2/3]
f'(x)=[e^x*(1+4x^2/3)-e^x*(8x/3)]/[1+4x^2/3]^2
令f'(x)=0
则 e^x*(1+4x^2/3)-e^x*(8x/3)=0
即 1+4x^2/3-8x/3=0 x=1/2或x=3/2
x=1/2，f(x)有极大值3√e/4,
x=3/2时，f(x)有极小值e√e/4

(2)f'(x)=e^x(ax^2-2ax+1)/(1+ax^2)^2
i:：若f(x)为R上的单调递增函数

则f'(x)>=0恒成立，即ax^2-2ax+1>=0恒成立，又因为a>0
所以 判别式=2a^2-4a<=0 得，0<=a<=2
所以 0<a<=2
ii:：若f(x)为R上的单调递减函数，
则f'(x)<=0恒成立，即ax^2-2ax+1<=0恒成立，又因为a>0
所以 a的值不存在
综上可知 a的取值范围为 (0,2】