Question

设非空集合，S={x|m≤x≤l}满足当x∈S时，x²∈S

Answer 1

设非空集合S=={x | m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x^2∈S . 给出如下三个命题：
①若m=1，则S={1}；②若m=－1/2 ，则1/4 ≤ l ≤ 1；③ l=1/2，则-根号 /2≤m≤0
其中正确命题的个数是
解：①是正确的因为 当m=1时 这时S中元素都是大于等于1
若x≥1时 x²≥x
如果x²＞x
那么根据 当x∈S时，有x²∈S
∴这样S的范围一直在扩大是不满足条件的
∴x=x²
解得x=1或x=0(舍去)
∴S={1}。
②是正确的 当m=－1/2时 若x取-1/2到0之间的值时 x^2一定在0到1/4.所以 l首先要大于等于1/4,又0到1之间的数的平方还在0到1. 所以l要小于等于1.因此有1/4 ≤ l ≤ 1。
③是正确的 当l=1/2时 这时m的范围本应该是 负二分之根号二到1/2.但是当m的值大于0时，那么m^2就不在S内了。所以m范围是负二分之根号二≤m≤0。

Answer 2

当m<-1时,x∈s,可得s<=1则
x²￠S,
当-1<=m<0时,可得-1<=s<=1,
x²∈S
当0<m<1时,可得0<=s<=1,
x²∈S

因此最后答案是-1<=m<1