Question

计算下列不定积分

(1)∫xe^(-3x)dx
(2)∫xcos(4x+3)dx
(3)∫xsin^2 xdx
(4)∫x^2 lnxdx
(5)求∫cos√xdx
请教各题详细解题过程~谢谢！

Answer 1

解：（1）∫xe^(-3x)dx=-(1/3)∫xe^(-3x)d(-3x)=-(1/3)∫xde^(-3x)
=-(1/3)[x*^e(-3x)-∫e^(-3x)dx] =-(1/3)[x*^e(-3x)+(1/3)∫e^(-3x)d(-3x)] =-(1/3)[x*^e(-3x)+(1/3)*e^(-3x)]=……（自己化简，我没带草稿）（2）∫xcos(4x+3)dx=(1/4)∫xcos(4x+3)d(4x+3) =(1/4)∫xdsin(4x+3) =(1/4)[x*sin(4x+3)-∫sin(4x+3)dx] =(1/4)[x*sin(4x+3)-(1/4)∫sin(4x+3)d(4x+3)] =(1/4)[x*sin(4x+3)+(1/4)cos(4x+3)]=……(3))∫xsin^2 xdx=∫x*(1-cos2x)/2dx =∫0.5xdx-(1/2)∫xcos(2x)dx =(x^2)/4-(1/4)∫xcos(2x)d(2x) =(x^2)/4-(1/4)∫xd(sin2x) =(x^2)/4-(1/4)[xsin(2x)-∫sin(2x)dx] =(x^2)/4-(1/4)[xsin(2x)-(1/2)∫sin(2x)d2x] ==(x^2)/4-(1/4)[xsin(2x)+(1/2)cos2x]=……(4)∫x^2 lnxdx=(1/3)∫(3x^2)lnxdx =(1/3)∫lnxd(x^3) =(1/3)[x^3*lnx-∫x^3d(lnx)] =(1/3)[x^3*lnx-∫x^2dx]
=(1/3)[x^3*lnx-(1/3)x^3]=……(5)设√x=t ∫cos√xdx=∫costdt^2 =2∫tcostdt =2∫td(sint) =2[t*sint-∫sintdt] =2[t*sint+cost] =2[√x*sin(√x)+cos(√x)]=……所有的结果别忘了加常数C吖

Answer 2

都是分部积分的练习：(1)∫xe^(-3x)dx=-1/3∫xe^(-3x)d(-3x)=-1/3∫xd[e^(-3x)]=-1/3[xe^(-3x)-∫e^(-3x)dx]=
(2)∫xcos(4x+3)dx=1/4∫xcos(4x+3)d(4x+3)=1/4∫xd[sin(4x+3)]=1/4xsin(4x+3)-1/4∫sin(4x+3)dx=
(3)sin^2x=(1-cos2x)/2,∴∫xsin^2 xdx=1/2∫xdx-1/4∫xcos2xd(2x),前一个是简单积分，后一个仍是分部积分与（2）类似。请练习。
(4)∫x^2 lnxdx=∫ lnxd(x�0�6/3)=x�0�6lnx/3-∫ (x�0�6/3)d(lnx)=x�0�6lnx/3-∫ (x�0�5/3)dx=x�0�6lnx/3-x�0�6/9+C(5)求∫cos√xdx,此题要同时运用换元积分与分部积分，换元u=√x,x=u�0�5,dx=2udu∫cos√xdx=2∫ucosudu=...后面的分部积分各书上都有例题可参照，就不代替了，数学是一定要自己多练习的，所以以上各题遵照你的意思写明了详细解题过程，但最终完成请自己做吧！