Question

已知,如图,在△ABC中,∠ACB=90,AC=BC,D是AB的中点,点E在AC上.点F在BC上

且AE=CF.求证：(1)DE=DF;(2)DE⊥DF

Answer 1

连接CD作为辅助线。根据题目可知，三角形ACB为等腰直角三角形，因此∠A=∠B=45°。而且由于D为AB中点，那么可知，三角形ADC也为等腰直角三角形，∠CAD=∠ACD=45°，AD=CD。
（1）因为AE=CF，AD=CD，∠EAD=∠FCD=45°，可知△EAD与△FCD为全等三角形（边角边），那么对应的边DE=DF。
（2）根据上一个证明得到的结论，由于△EAD全等于△FCD，可知∠EDA=∠FDC。由于CD垂直于AB（等腰三角形中线性质），可知∠ADE+∠EDC=90°，将∠ADE替换为∠CDF，可得到∠CDF+∠EDC=90°，即∠EDF=90°，可知ED⊥FD。