Question

在三角形ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆O分别交BC.AC于点D.E连接EB交OD于点F.(

在三角形ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆O分别交BC.AC于点D.E连接EB交OD于点F.(1)求证:OD垂直BE（2）若DE=√5,AB=5,求AE的长

Answer 1

（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABE=90°
解：因为ABDE为圆内接四边形，因此对角互补（如果需要证明请提示）
则∠A+∠BDE=180。
因为∠CDE+∠BDE=180
所以，∠A=∠CDE
又，∠C=∠C。
所以△ABC∽△DEC
AB=AC=5，所以DE=CD=√5
且两三角形相似比为：DE：AB=1：√5
连接AD。
因为AB为直径，所以∠ADB=90（直径所对圆周角）。因此，AD⊥BC。
又因为△ABC为等腰三角形，因此AD也是底边BC中线。
则，BC=2CD=2√5
CE：BC=DE：AB=1：√5
所以CE=2
AE=AC-CE=5-2=3