Question

有极限的函数就是有界函数吗？有界函数是必须同时有上下两个界的吗？

Answer 1

有极限不一定有界，比如函数y＝1/x，极限是0但是无界。

有界函数必须即有上界又有下界。

一个函数f(x)有界等价于存在M(≥0)，使得对任意的x属于其定义域总有：|f(x)|≤M。

根据上面的有界定义，显然可以看出M，-M分别为其一个上界和下界。另外根据确界原理我们还有：只要有上界就一定是存在其上确界的，同理于下界。

扩展资料：

设函数f(x)是某一个实数集A上有定义，如果存在正数M 对于一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的则称函数f(x)在A上有界，如果不存在这样定义的正数M则称函数f(x)在A上无界 设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）

则称ƒ在D上有上（下）界的函数，M（L）称为ƒ在D上的一个上（下）界。

根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。又若M(L)为ƒ在D上的上（下）界，则任何大于（小于）M（L）的数也是ƒ在D上的上（下）界。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。

参考资料来源：百度百科-有界函数

Answer 2

　　1）（要指明）在某点有极限的函数未必是有界函数，只能是在某点“局部”有界的。
　　2）有界函数是必须同时有上下两个界的！
　　注：对函数来说，“有界” 是一个整体概念，而在某点有极限的函数只能保证 “局部” 的有界性，而不是整体的有界性。这一点和数列不一样。

Answer 3

有极限不一定有界，比如函数y＝1/x，极限是0但是无界。
有界函数必须即有上界又有下界。