Question

已知不等式x²+2ax-3a+4>0在x∈[1,2]恒成立,求a的取值范围.

麻烦过程。谢谢！！！

Answer 1

已知不等式x²+2ax-3a+4>0在x∈[1,2]恒成立,求a的取值范围.
解：y=x²+2ax-3a+4=(x+a)²-a²-3a+4=(x+a)²-(a²+3a-4)=(x+a)²-(a+4)(a-1)≧-(a+4)(a-1).
这是一条开口朝上的抛物线，要使y>0在区间[1，2]上恒成立，需作以下讨论：
(一)。当对称轴x=-a在指定区间[1，2]的左边，即-a≦1，也就是a≧-1时，只需y(1)=5-a>0，
即a<5；此时得-1≦a<5.........①
(二)。当对称轴x=-a在指定区间[1，2]内，即1≦-a≦5，也就是-5≦a≦-1时，只需y的最小值
ymin=-(a+4)(a-1)>0，即(a+4)(a-1)<0，-4<a<1；由[-5，-1]∩(-4，1)=(-4，-1)得-4<a<-1.......②
(三)。当对称轴x=-a在指定区间[1，2]的右边，即-a≧2，也就是a≦-2时，只需y(2)=a+8>0，即
a>-8；此时得-8<a≦-2..........③
①∪②∪③={a∣-8<a<5}，就是a的取值范围。

Answer 2

令y=x²+2ax-3a+4，对称轴x=-a因为在[1,2]内y＞0恒成立，y是开口向上的抛物线所以

1. 对称轴1≤x=-a≤2，则需要ymin＞0，即y(-a)=-a²-3a+4＞0，有-2≤a≤-1

2. 对称轴x=-a＜1，则在[1,2]上单调递增，所以需要y(1)＞0，有-1＜a＜5

3. 对称轴x=-a＞2，则在[1,2]上单调递减，所以需要y(2)＞0，有-8＜a＜-2

   综上所述，a∈(-8，5)