Question

有关导函数的数学题

设函数f（x）在R上的导函数为f'（x），且2f（x）+xf'（x）＞x²，则下列不等式在R上恒成立的是
f（x）＞0 f（x）＜0 f（x）＜x f（x）＞x

Answer 1

解：因为 2f(x)+xf′(x)＞x^2 …………①，下面予以讨论：
（1）x= 0时，代入①得： f(0) ＞ 0
（2）x＞0 时，①的两边同乘以x ：2xf(x)+x^2f′(x) ＞ x^3 ， 即
[x^2f(x)]′＞ x^3＞0, 所以函数y= x^2f(x）是R+上的增函数，而x＞0，
故： x^2f(x) ＞ 0^2f(0) = 0 ， 所以 f(x) ＞ 0
（3）x＜0 时，①的两边同乘以x ：2xf(x)+x^2f′(x) ＜ x^3 ， 即
[x^2f(x)]′＜x^3＜ 0, 所以函数y= x^2f(x）是R-上的增函数，又x＜ 0,
故： x^2f(x)＞ 0^2f(0) = 0 ， 所以也有 f(x) ＞0
综上可知，x∈R 时，总有 f(x)＞0 所以选 A
——————————但————————是——————————
选择题应该这样做！ 由f(0) ＞ 0 即排除选项B和C，
显然 f(x)=x^2 +a（a＞0）时 已知条件 2f(x)+xf′(x)＞x^2 成立，但
f(x)＞x 未必成立，所以D也是错的，故选 A

Answer 2

解：因为 2f(x)+xf′(x)＞x^2 …………①，下面予以讨论：
（1）x= 0时，代入①得： f(0) ＞ 0
（2）x＞0 时，①的两边同乘以x ：2xf(x)+x^2f′(x) ＞ x^3 ， 即
[x^2f(x)]′＞ x^3＞0, 所以函数y= x^2f(x）是R+上的增函数，而x＞0，
故： x^2f(x) ＞ 0^2f(0) = 0 ， 所以 f(x) ＞ 0
（3）x＜0 时，①的两边同乘以x ：2xf(x)+x^2f′(x) ＜ x^3 ， 即
[x^2f(x)]′＜x^3＜ 0, 所以函数y= x^2f(x）是R-上的增函数，又x＜ 0,
故： x^2f(x)＞ 0^2f(0) = 0 ， 所以也有 f(x) ＞0
综上可知，x∈R 时，总有 f(x)＞0

Answer 3

怎么推得不知道
假设f（x）=x²+1/4

2f（x）+xf'（x）=2x²+1/2+2x²=4x²+1/2＞x²

则f（x）＜0 明显不成立；f（x）＜x明显不成立；f（x）＞x在x=-1/2时 f（x）=x不成立；
所以 f（x）＞0