Question

数学题，麻烦要过程，详细点，谢谢各位！

已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件
谢谢你们

Answer 1

证明 (1）充分性 由韦达定理，得|b|=|x1·x2|=|x1|·|x2|＜2×2=4
设f(x)=x2+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线
又|x1|＜2,|x2|＜2,∴f(±2)>0
即有 4+b>2a>－(4+b)
又|b|＜4 4+b>0 2|a|＜4+b

(2)必要性
由2|a|＜4+b f(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线
∴方程f(x)=0的两根x1，x2同在(－2，2）内或无实根
∵x1，x2是方程f(x)=0的实根，
∴x1，x2同在(－2，2）内，即|x1|＜2且|x2|＜2
其中x1，x2就是题目中的α、β

Answer 2

已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β,则判定式：a^2-4b≥0，于是a^2≥4b，
则b≥0，又因为|α|<2且|β|<2，所以2|a|<4，又b≥0，所以2|a|<4+b；由a^2≥4b得：4≥4b，所以b<1，所以0<b<1，所以|b|<4。

综上所得：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件

Answer 3

先证明充分性，由前两个推导出后面的，在证明必要性，由后面的推出前面的。最后一步：综上所述，‘……”，把结论抄一遍就好。