Question

设一个三角形的三边长分别为a,b,c,p=1/2(a+b+c)，则有下列面积公式：

S=√p（p-a）（p-b）（p-c) （海伦公式）
S=√1/4（a²b²-（a²＋b² -c²/2）（秦九韶公式）
（1）一个三角形的三边长依次为5,6,7，利用两个公式分别求这个三角形的面积；
（2）一个三角形的三边长依次为√5，√6，√7，利用两个公式分别求这个三角形的面积。

Answer 1

三角形面积计算方法如下：

公式1：

S=√[(5+6+7)÷2]×[(5+6+7)÷2-7]×[(5+6+7)÷2-5]×[(5+6+7)÷2-6]

S=√9×2×3×4

S=√216

S=6√6

公式2：

S=√1/4{5²6²-[(5²＋6² -7²)/2]²}

S=√1/4(900-6²)

S=√1/4×864

S=√216

S=6√6

判定法：

1、锐角三角形：三角形的三个内角中最大角小于90度。

2、直角三角形：三角形的三个内角中最大角等于90度。

3、钝角三角形：三角形的三个内角中最大角大于90度，小于180度。

其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。

Answer 2

(1)公式1：
S=√[(5+6+7)÷2]×[(5+6+7)÷2-7]×[(5+6+7)÷2-5]×[(5+6+7)÷2-6]
S=√9×2×3×4
S=√216
S=6√6

公式2：
S=√1/4{5²6²-[(5²＋6² -7²)/2]²}
S=√1/4(900-6²)
S=√1/4×864
S=√216
S=6√6

(2)公式2：
S=√1/4{5×6-[(5+6-7)/2]²}
S=√1/4(30-2²)
S=√7

注：（2）公式1可能得化成公式2

S= √1/4{a²c²-[(a²+c²-b²)/2 ]²}
S²=1/4[4a²c²-(a²+c²-b²)²]
=1/4[(c+a)²-b ²][b²-(c-a)²]
=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=1/4[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]
=p(p-a)(p-b)(p-c)

其中p=1/2(a+b+c)