Question

如图，在三角形abc中，d为bc的中点，过d点的直线gf交ac于点f，交ac的平行线bg于点g，d

如图，在三角形abc中，d为bc的中点，过d点的直线gf交ac于点f，交ac的平行线bg于点g，de丄gf，
并交ab于点e，连eg。
（1）求证：bg＝cf;
（2）请你猜想be＋cf与ef的大小关系，并说明理由

Answer 1

BE+CF＞EF，证明过程如下：

因为D为BC的中点、BG平行于AC，

所以 BD=CF、角DBG=角C、角BDG=角CDF、

可得 三角形BDG全等于三角形CDF，于是 BG=CF、DG=DF；

又因为 ED垂直于GF，故ED是GF的垂直平分线，所以EG=EF；

在三角形BEG中，BE+BG＞EG，

所以 BE+CF=BE+BG＞EG=EF.

证毕.

Answer 2

（1）
∵D是BC的中点
∴BD＝DC
∵BG//AC
∴∠DBG=∠DCF（两直线平行，内错角相等。）
在三角形BDG和三角形CDF中
∠CDF=∠BDG
BD=DC
∠DBG=∠DCF
∴三角形BDG≌三角形CDF（SAS）
∴BG=CF（全等三角形，对应边相等。）
（2）
∵三角形BDG≌三角形CDF
∴DF=DG CF=BG（全等三角形，对应边相等）
∵DE⊥GF
∴EF=EG
∵BE＋BG＞EG
∴BE＋CF＞EF