Question

已知gx=-x2-3,fx是二次函数，且fx+gx为奇函数，当x属于［-1，2］时fx的最小值为1，求fx的解析式

Answer 1

解：
设f(x)=ax²+bx+c(a≠0)，则f(x)+g(x)=(a-1)x²+bx+c-3，
∵f(x)+g(x)为奇函数，
∴f(-x)+g(-x)=(a-1)x²-bx+c-3=-[(a-1)x²+bx+c-3]=-[f(x)+g(x)]
∴a=1，c=3
∴f(x)=x²+bx+3，对称轴x=-b/2，
①当-b/2>2，即b<-4时，f(x)在[-1，2]上为减函数，
∴f(x)的最小值为f(2)=4+2b+3=1，∴b=-3，∴此时无解
②当-1≤-b/2≤2，即-4≤b≤2时，
f(x)min=f(-b/2)=3-b²/4=1，∴b=±2√2
∴b=-2√2
，此时f(x)=x²-2√2x+3，
③当-b/2<-1时，即b>2时，f(x)在[-1，2]上为增函数，
∴f(x)的最小值为f(-1)=4-b=1，
∴b=3，∴f(x)=x²+3x+3，
综上所述，f(x)=x²-2√2x+3或f(x)=x²+3x+3．
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